נולד בעיר סלא שבמרוקו, לאביו רבי מרדכי, ולאימו ביידה, ביתו של רבי רפאל ביבאס כבן לשושלת רבנים ספרדית-מרוקאית ארוכה, שאחד מהם, רבי אפרים אנקווה, היה רב, רופא ופילוסוף ידוע מדור מגורשי ספרד שהתיישב בצפון אפריקה. רבי רפאל נודע בלימודיו השקדניים מצעירותו, והוא שילב את לימודיו עם עבודה במסחר. הוא למד תחת חסותו של הרב יששכר אצראף, ונשא את בתו לאישה. בעקבות עלייתו של הרב אצרף לארץ ישראל בשנת 1879, מונה רבי רפאל לדיין של בית הדין הרבני בסלא והיה אחראי להקמתה של ישיבה בעיר. בזכות למדנותו ופסיקותיו, שמו זכה להוקרה ברחבי קהילות יהודי מרוקו.השלטון הצרפתי במרוקו בראשית תקופת הפרוטקטורט החליט שיש להקים מוסד של רב ראשי במדינה, כדי שייצג את היהודים. מועצת רבנים המליצה על רבי רפאל אנקווה לתפקיד, אך הוא מצדו כששמע על הבשורה הצטנע והתעקש שיש רבנים גדולים ממנו במרוקו כגון הדיין הרב משה אבן דנאן מפאס ואחרים. לאחר התייעצות עם הרבנים עליהם הוא המליץ, הוחלט שיתמנה לבסוף לתפקיד, וכך בשנת 1918 נהפך לראשון להתמנות לרב הראשי של יהדות מרוקו, וכן לראשות בית הדין הרבני ברבאט הבירה. רבי רפאל אנקווה חיבר מספר רב של ספרים הלכתיים וזכה לשם של מלומד גדול במרוקו ומחוצה לה. בשנת 1929 הוא קיבל מהממשל הצרפתי את עיטור לגיון הכבוד. כמו כן עמד בקשר עם כמה רבנים בני דורו כגון רבי דוד צבאח.הרב אנקווה נפטר ב-3 באוגוסט 1935 בגיל 87. בהלווייתו שנערכה למחרת נכחו עד 50,000 משתתפים, כולל נציגים צרפתים ומוסלמים בכירים ומשלחות יהודיות מכל רחבי מרוקו. לאחר פטירתו ולאורך השנים חוברו לזכרו פיוטים ושירים רבים. מספר רחובות קרואים על שמו בערי ישראל.בנו היה הרב מיכאל יששכר אנקווה שכיהן לימים כרבה הראשי של מרוקו.
